À ton avis ?
Devine le bon chiffre : une même fonction du second degré peut s'écrire de trois façons
Pourquoi le second degré te concerne
Chaque jour, tu croises des équations du second degré sans le savoir : la trajectoire d'un ballon, la surface maximale d'un rectangle, le profit d'une entreprise. ==Une fonction polynôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c, où a ≠ 0==. Trois coefficients, trois mystères à percer. Mais voilà la bonne nouvelle : une fois que tu maîtrises le discriminant Δ = b² – 4ac, tu peux résoudre n'importe quelle équation du second degré. C'est comme avoir la clé universelle d'un château mathématique.
Au XVIe siècle, le mathématicien italien Girolamo Cardano cherche une méthode générale pour résoudre les équations du troisième degré. En travaillant sur les cas particuliers, il découvre que le nombre de solutions dépend d'une expression clé : le discriminant. Trois siècles plus tard, Évariste Galois, mathématicien français de génie, formalise cette idée et montre que le discriminant est la clé universelle pour comprendre la structure de toute équation polynôme. Galois meurt à 20 ans en duel, mais son héritage révolutionne l'algèbre moderne.
Δ > 0 : deux racines réelles distinctes | ==Δ = 0 : une racine double | Δ < 0 : aucune racine réelle==. Ce petit calcul de trois termes détermine la structure entière de ta solution. C'est comme un feu tricolore mathématique : vert, orange ou rouge, chaque signal te dit exactement où aller.
Chapitre 1 / 10
1
Reconnaître et identifier
Une fonction polynôme définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. Le coefficient a est le coefficient de x², b celui de x, et c le terme constant.
« Tout comme un circuit a une résistance (a), une inductance (b) et une capacité (c) qui ensemble créent un comportement unique, une équation du second degré combine trois coefficients pour créer une courbe spécifique. Changer l'un d'eux, c'est comme modifier un composant du circuit : tout change. »
Pour f(x) = 2x² – 8x + 6, les coefficients sont ==a = 2, b = –8, c = 6==. Attention : si b est négatif, écris-le entre parenthèses avant de l'élever au carré. Un coefficient peut être nul : dans –3x² + 12x, on a c = 0 ; dans 5x² – 7, on a b = 0. Mais si a = 0, la fonction devient affine, pas du second degré.
Identifie a, b, c et calcule Δ
Lis le sommet (α ; β) et l'extremum
Lis les racines et étudie le signe
Identifie a, b, c et calcule Δ
Lis le sommet (α ; β) et l'extremum
Lis les racines et étudie le signe
Prends 2x² – 8x + 6. La forme développée donne les coefficients. En factorisant, tu obtiens 2(x – 1)(x – 3), qui révèle les racines 1 et 3. La forme canonique 2(x – 2)² – 2 montre le sommet (2 ; –2).
Une même fonction, trois visages. Chaque forme répond à une question différente : développée pour les coefficients, factorisée pour les racines, canonique pour le sommet et l'extremum.
Savoir passer d'une forme à l'autre, c'est maîtriser le sujet.
Chaque forme révèle une information différente : la forme développée donne les coefficients, la forme factorisée montre les racines, et la forme canonique localise le sommet de la parabole.
Pépite à gagner
Si Δ < 0, une équation du second degré n'a aucune racine réelle.
Chapitre 2 / 10
2
Calculer le discriminant
Δ = b² – 4ac. Ce nombre détermine le nombre de racines réelles d'une équation du second degré. C'est le cœur de la résolution.
Pour 2x² – 8x + 6, on calcule Δ = (–8)² – 4 × 2 × 6 = 64 – 48 = 16. Puisque Δ > 0, le trinôme possède deux racines réelles distinctes. Attention aux parenthèses : (–8)² = 64, tandis que –8² = –64. Quand b est négatif, mets-le entre parenthèses avant d'élever au carré. Calcule aussi le produit 4ac en tenant compte des signes de a et c.
Écris toujours l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 avant de relever les coefficients. Puis calcule b² séparément, puis 4ac, puis fais la soustraction. Trois étapes = moins d'erreurs.
Pépite à gagner
Pour 2x² – 8x + 6 = 0, quel est le discriminant ?
Chapitre 3 / 10
3
Résoudre avec le discriminant
Les trois cas du discriminant
- Étape 1Si Δ > 0 : deux solutions réelles
x₁ = (–b – √Δ) / (2a) et x₂ = (–b + √Δ) / (2a). Classe-les : x₁ < x₂.
- Étape 2Si Δ = 0 : une solution double
x₀ = –b / (2a). Une seule valeur, mais on dit « racine double ».
- Étape 3Si Δ < 0 : aucune solution réelle
L'ensemble solution est S = ∅. Pas de racine dans ℝ.
Le discriminant Δ = b² – 4ac détermine complètement le nombre et la nature des solutions : deux racines réelles distinctes si Δ > 0, une racine double si Δ = 0, ou aucune racine réelle si Δ < 0.
Δ = 16 (calculé plus haut), √Δ = 4. Les deux solutions sont (8 – 4) / 4 = 1 et (8 + 4) / 4 = 3.
Vérifie : f(1) = 2 – 8 + 6 = 0 ✓ et f(3) = 18 – 24 + 6 = 0 ✓. Les racines sont correctes.
Toujours vérifier en remplaçant x par chaque racine dans l'équation initiale.
En développant l'identité 4a(ax² + bx + c) = (2ax + b)² – Δ, on retrouve que résoudre ax² + bx + c = 0 revient à résoudre (2ax + b)² = Δ. Puisque a ≠ 0, on isole x et on obtient la formule des racines. C'est de l'algèbre pure, pas de la magie.
Pépite à gagner
« Étudier le signe d'une fonction, c'est la même chose qu'étudier ses variations. »
Chapitre 4 / 10
4
Résoudre sans discriminant
Avant de calculer Δ, regarde si l'expression se factorise directement. Un facteur commun : 3x² – 12x = 3x(x – 4), donc x = 0 ou x = 4. Une différence de carrés : x² – 25 = (x – 5)(x + 5), donc x = ±5. Un carré parfait : x² – 8x + 16 = (x – 4)², donc x = 4 (racine double). Ces raccourcis limitent les erreurs.
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Elle s'applique à un produit, pas à une somme. Si tu as a(x – x₁)(x – x₂) = 0, alors x = x₁ ou x = x₂.
Chapitre 5 / 10
5
La forme canonique
f(x) = a(x – α)² + β, où (α ; β) est le sommet de la parabole. Elle met en évidence les coordonnées du sommet et l'extremum de la fonction.
Pour 2x² – 8x + 6, on met 2 en facteur : 2(x² – 4x) + 6. On utilise l'identité (x – 2)² = x² – 4x + 4, donc x² – 4x = (x – 2)² – 4. On remplace : 2[(x – 2)² – 4] + 6 = 2(x – 2)² – 2. Le sommet est (2 ; –2). Attention au signe : dans (x + 4)² + 1, le sommet a pour abscisse –4, pas +4.
Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum. Si a < 0, elle s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum. La forme canonique a(x – α)² + β te donne directement ce sommet (α ; β).
Chapitre 6 / 10
6
Variations et extremum
Variations selon le signe de a
Pour f(x) = 2(x – 2)² – 2, le coefficient a = 2 > 0, donc la parabole s'ouvre vers le haut. Le minimum est ==–2, atteint pour x = 2==. La fonction décroît sur ]–∞ ; 2] et croît sur [2 ; +∞[. Sur un intervalle imposé, vérifie que le sommet y appartient avant d'y placer l'extremum.
Chapitre 7 / 10
7
Tableau de signes
Étudier le signe de f(x) consiste à chercher où f(x) est positif, nul ou négatif. Ce n'est pas la même question qu'étudier les variations. Classe les racines dans l'ordre x₁ < x₂. Le trinôme a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe opposé entre elles.
Signe du trinôme selon Δ
Les racines sont 1 et 3, et a = 2 > 0. À gauche de 1, le trinôme est positif. Entre 1 et 3, il est négatif. À droite de 3, il est positif.
Le signe change à chaque racine. C'est la règle du trinôme factorisé a(x – x₁)(x – x₂) : entre les racines, un facteur est positif et l'autre négatif, donc le produit est négatif.
Mémorise : signe de a à l'extérieur, signe opposé entre les racines.
Chapitre 8 / 10
8
Résoudre les inéquations
Résoudre une inéquation du second degré
- 1Ramène tout dans un même membre
Écris l'inéquation sous la forme ax² + bx + c ≤ 0 (ou ≥, <, >).
- 2Détermine les racines
Par factorisation ou avec le discriminant.
- 3Étudie le signe
Construis le tableau de signes en tenant compte de a et Δ.
- 4Sélectionne les intervalles
Choisis ceux qui correspondent au signe demandé. Vérifie les bornes.
On réécrit x² + 2x – 8 ≤ 0. Δ = 4 + 32 = 36, donc √Δ = 6. Les racines sont (–2 – 6) / 2 = –4 et (–2 + 6) / 2 = 2.
Puisque a = 1 > 0, le trinôme est négatif entre les racines. On cherche les valeurs pour lesquelles il est négatif ou nul.
L'ensemble solution est S = [–4 ; 2].
Chapitre 9 / 10
9
Tracer la parabole
La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole. Elle s'ouvre vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0. Le sommet S(α ; β) est le point clé. L'axe de symétrie est la droite verticale x = α. L'intersection avec l'axe des ordonnées est le point (0 ; c). Les intersections avec l'axe des abscisses sont les racines réelles.
Avec deux racines distinctes, la parabole traverse l'axe des abscisses deux fois. Avec une racine double, elle le touche au sommet. Sans racine réelle, elle ne le touche jamais. Une lecture graphique aide à vérifier un résultat, mais elle ne remplace pas une solution exacte.
Chapitre 10 / 10
10
Pièges à éviter
2x² – 8x + 6 = 2(x – 1)(x – 3), pas (x – 1)(x – 3). Le coefficient a doit rester devant le produit.
La formule est x = (–b ± √Δ) / (2a), pas x = (–b) / (2a) ± √Δ / (2a). Tout le numérateur se divise par 2a.
Une fonction peut être croissante tout en restant négative sur une partie de l'intervalle. Étudier le signe et les variations sont deux questions différentes.
Si Δ = 0, le trinôme a le signe de a partout sauf au sommet. Si Δ < 0, il a le signe de a sur tout ℝ.
Pour f(x) = –x² + 4x – 5, calcule Δ et déduis-en le nombre de racines réelles.
Δ = 16 – 4(–1)(–5) = 16 – 20 = –4. Puisque Δ < 0, il n'existe aucune racine réelle. Le trinôme a le signe de a = –1 sur tout ℝ, donc il est strictement négatif partout.
Le discriminant Δ = b² – 4ac est la clé universelle : il détermine le nombre de racines et la structure entière de la solution.
Teste-toi sur le second degré
- ==Une fonction du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c== avec a ≠ 0. Elle peut prendre trois formes : développée, canonique ou factorisée.
- ==Le discriminant Δ = b² – 4ac== décide tout : Δ > 0 → deux racines, Δ = 0 → une racine double, Δ < 0 → aucune racine réelle.
- ==La forme canonique a(x – α)² + β== révèle le sommet (α ; β) et l'extremum. Elle aide à tracer la parabole et à étudier les variations.
- ==Pour étudier le signe==, classe les racines et applique la règle : signe de a à l'extérieur, signe opposé entre les racines.
- ==Résoudre une inéquation== revient à trouver les intervalles où le trinôme a le signe demandé. Construis un tableau de signes et sélectionne les bonnes zones.
Pépite à gagner
Pour f(x) = –x² + 4x – 5, calcule Δ et déduis-en le nombre de racines réelles.
Fin du voyage
Ce que tu as découvert
Un sujet de plus dans ta culture générale.
10
chapitres explorés
0/0
pépites
0/0
paris réussis